Question

已知a>0,函数f(x)=1/3a^2x^3-ax^2+2/3,g(x)=-ax+1,x属于R， 问：若在区间(0,1/2]上至少存在一个实数x,使f(

我在网上请教了很久也没看到满意答案，很纠结，所以希望有高手帮忙
已知a>0,函数f(x)=（1/3）a^2x^3-ax^2+2/3,g(x)=-ax+1,x属于R， 问：若在区间(0,1/2]上至少存在一个实数x,使f(x)>g(x)成立，求正实数a的取值范围（a>0）

Answer 1

(x)-g(x)=1/3a^2x^3-ax^2+2/3+ax-1
= 1/3a^2x^3-ax^2+ax-1/3 >0
要使在区间(0,1/2]上至少存在一个实数x,使f(x)>g(x)成立既要在区间(0,1/2]上至少存在一个实数x使上式成立。显然a不为0，而上式又等价于a^2x^3-3ax^2+ax-1>0
令f（x）=a^2x^3-3ax^2+ax-1>0
再求导，然后解方程求出根，再画出大概图像，再去分析就很好理解了，答案是a<-3-根号17 或 a>-3+根号17

Answer 2

我是这么解得，不知对不对：
h(x)=f(x)-g(x)=1/3a^2x^3-ax^2+ax-1/3
h'(x)=a(ax^2-2x+1)
令p(x)=ax^2-2x+1
p'(x)=0,x=1/a
p(0)=1>0,p(1/2)=a/4>0,
p(1/a)=1-1/a,当0<a<1,p(1/a)<0但0<x<1/2 p(x)>0
当a>1,p(1/a)>0,0<x<1/2 p(x)>0
故h'（x）>0在0<x<1/2恒成立
h(0)=-1/3<0
故h(1/2)=1/24*a^2+1/4*a-1/3>0时才满足h(x)在区间(0,1/2]上存在大于零的点
故0<a<-2+1/2*sqrt(68) (sqrt表示根号)

Answer 3

即证f(x)-g(x)>0在(0,1/2]上成立，用导数求出极值。
^是什么符号

追问

谁不知道啊，我能求到就不问啦，不要跟我说什么求导不求导这些理论东西
我只要过程与答案
那是次方符号哦

Answer 4

怎么？你需要运算过程不能求导数吗？你是高中生？

追问

你语文水平有待提高
我说我能求导，但下一步不会，不要只说理论的东西
要过程与答案