Question

f(x)=x^3-ax^2+10,在区间【1,2】内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围

Answer 1

求导
f'(x)=3x^2-2ax=x(3x-2a)
令f'(x)=0
x1=0 x2=2a/3
若a<0, 则f(x)在x>0上递增 f(0)=10 此时f(x)>0 (x>0)
故a>0
f(2a/3)为极小值
令f(2a/3)<0
a^3>270/4
得2a/3>2
令f(2)<0
得a>4.5
综上a>4.5

Answer 2

x³－ax²＋10<0
ax²>x³＋10
因1≤x≤2
两边除以x²，得：
a>x＋(10/x²) --- 要这个式子成立，则：
a>[x＋(10/x²)]的最小值。
x＋(10/x²)=(x/2)＋(x/2)＋(10/x²)≥3³√(5/2)
得：a≥3³√(5/2)

Answer 3

由已知得
x^3-ax^2+10=0
a>(x^3+10)/x^2
设g(x)=x+(10/x^2)(1≤x≤2)
g′(x)=1-(20/x^3)
1≤x≤2,g′（x)<0
所以g（x）在[1，2]上是减函数
g(x)的最小值=g(2)=9/2
所以,a>9/2

Answer 4

求导，得 f'(x)=3x²-2ax
易得f(x)在(-∞，0)和(2a/3，+∞)上是增函数，
在(0,2a/3)上是减函数。
从而由条件得 f(2a/3)<0且 1≤2a/3≤2
解得 3/2≤a≤3

Answer 5

f(x)=x³－ax²＋10在区间[1，2]内存在一个数使得f(x)<0，即x³－ax^2＋10<0
ax^2>x³＋10
a>x＋10/x^2
只要a大于x＋10/x^2最小值即可
设g(x)=x＋10/x^2
g'(x)=1-20/x^3=0,x^3=20
1<=x<=2时,g'(x)<0,