Question

斐波那契数列 性质 f(x )为菲波拿且数列 证明F（m+n）=f(n-1)*f(m)+f(n)*f(m+1) 神牛拜托

Answer 1

f(m+2)=f(m)+f(m+1)=f(2-1)f(m)+f(2)f(m+1),
f(m+3)=f(m+1)+f(m+2)=2f(m+1)+f(m)=[f(1)+f(2)]f(m+1)+f(m)=f(3)f(m+1)+f(2)*f(m)等式成立。
n=2，3时等式成立.
设2<=n<=k>3时等式都成立. f(m+n)=f(n-1)f(m)+f(n)f(m+1).
n=k+1时,
f(m+k+1)=f(m+k)+f(m+k-1)=f(k-1)f(m)+f(k)f(m+1)+f(k-2)f(m)+f(k-1)f(m+1)
=f(m)[f(k-1)+f(k-2)]+f(m+1)[f(k)+f(k-1)]
=f(m)f(k)+f(m+1)f(k+1)
因此，n=k+1时等式也成立。
故，由归纳法知，对于任意正整数m和大于1的整数n，总有f(m+n)=f(n-1)f(m)+f(n)f(m+1)成立。