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这是用重积分求面积
曲面面积的计算推导过程
设曲面S由方程 z=
给出,D为曲面S在xOy面上的投影区域,函数 在D上具有连续偏导数 和 ,要计算曲面S的面积A。
在闭区域D上任取一直径很小的闭区域的面积 (这小闭区域的面积也记作 )。在 上取一点 ,对应地曲面S上有一点 ,点M在xOy面上的投影即点P。点M处曲面S的切平面设为T。以小闭区间 的边界为准线作母线平行于z轴的柱面,这柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片。由于 的直径很小,切平面T上的那一小片平面的面积 可以近似代替相应的那小片曲面的面积。设点M处曲面S上的法线(指向朝上)与z轴所成的角为,则
= .
因为 cos = ,
所以 = .
这就是曲面S的面积元素,以它为被积表达式在闭区域D上积分,得
A= .
上式也可写成
A= .
这就是计算曲面面积的公式。
设曲面的方程为x= 或y= ,可分别把曲面投影到yOz而上(投影区域记作D ),类似地可得
A= ,
或 A=
曲面面积的计算推导过程
设曲面S由方程 z=
给出,D为曲面S在xOy面上的投影区域,函数 在D上具有连续偏导数 和 ,要计算曲面S的面积A。
在闭区域D上任取一直径很小的闭区域的面积 (这小闭区域的面积也记作 )。在 上取一点 ,对应地曲面S上有一点 ,点M在xOy面上的投影即点P。点M处曲面S的切平面设为T。以小闭区间 的边界为准线作母线平行于z轴的柱面,这柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片。由于 的直径很小,切平面T上的那一小片平面的面积 可以近似代替相应的那小片曲面的面积。设点M处曲面S上的法线(指向朝上)与z轴所成的角为,则
= .
因为 cos = ,
所以 = .
这就是曲面S的面积元素,以它为被积表达式在闭区域D上积分,得
A= .
上式也可写成
A= .
这就是计算曲面面积的公式。
设曲面的方程为x= 或y= ,可分别把曲面投影到yOz而上(投影区域记作D ),类似地可得
A= ,
或 A=
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找到一个函数描述待求面的一条边的高,然后描述微元面积,求积就可以了。其实无论哪种坐标,思路是一样的。
实际上最原始的方法可以用方格子坐标纸来求面积。
实际上最原始的方法可以用方格子坐标纸来求面积。
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