Question

直角三角形ABCD中∠ABC＝90度;将△ABC绕着顶点C按顺时针方向旋转角度α（0＜α＜180度;得到△A'B'C，连结A

连结AA'，BB’交于点M，交AA'于点N
（1）若AC＝6√3，α＝2∠BAC，求线段BM的长
（2）求证；△AMN∽△BMC
（3）3AN＝4B'C，sin∠BAC＝¼,请你确定旋转角α的角度（精确到1º）

Answer 1

如图，将含30度的直角三角板ABC（角A=30度）绕其直角顶点C顺时针旋转a角（0度＜a＜90度）得到直角△A'B'C',A'C与AB交于点D,过点D作DE平行A'B'交CB'于点E,连结BE。已知在旋转过程中，△BDE为直角△，设BC=1,AD=X,△BDE的面积为s.求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；还有.以点E为圆心，BE为半径作圆E，当S=1/4·S△ABC时，判断圆E与A'C的位置关系，并求相应的tanα值

Answer 2

解：（1）∵∠A=a=30°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BCD=60°．
∴AD=BD=BC=1．
∴x=1．

（2）∵∠DBE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°．
∴AC=BC=，AB=2BC=2．
由旋转性质可知：AC=A′C，BC=B′C，
∠ACD=∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴=，
∴BE=x．
∵BD=2-x，
∴s=×x（2-x）=-x2+x．（0＜x＜2）

（3）∵s=s△ABC
∴-+=，
∴4x2-8x+3=0，
∴，．
①当x=时，BD=2-=，BE=×=．
∴DE==．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC=∠A′=∠A=30°．
∴EC=DE=＞BE，
∴此时⊙E与A′C相离．
过D作DF⊥AC于F，则，．
∴．
∴． （12分）
②当时，，．
∴，
∴，
∴此时⊙E与A'C相交． （13分

Answer 3

（1）∵CB=CB'，
∴∠CBBʹ=∠CBʹB=(180-α)/2=90-α/2．
∵∠BAC=α/2，∠ABC=90°，
∴∠BCM=90°-α2．
∴∠CBB'=∠BCM．
∴BM=CM．
又∵∠BAC=∠ABM，
∴AM=BM．（2分）
∴BM是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BM=1/2AC=3√3．（3分）

（2）∵CB=CB'，
∴∠CBBʹ=∠CBʹB=(180-α)/2=90-α/2．
同理∠CAAʹ=90-α/2，
∴∠CAA'=∠CBB'．（5分）
又∠AMN=∠BMC，
∴△AMN∽△BMC．（6分）

（3）∵△AMN∽△BMC．
∴AM/BM=AN/BC=AN/BʹC=4/3．（7分）
过点M画MH⊥AB于H，
∵sin∠BAC=1/4，
∴MH=1/4AM．
在Rt△BHM中，sin∠MBH=1/4AM÷3/4AM=1/3．（8分）
∴∠ABM=19.5°．
∴∠CBB'=∠CB'B=90°-19.5°=70.5°，
∴α=180°-70.5×2=39°．（10分）