Question

高一数学必修四三角恒等变换题

已知函数f（x)=acos²x+2bsinxcosx+sin²x（a，b属于R)
①当a=3，b=根号3时，求f（x）的单调递减区间
②当b=1时，将f（x）的图像向左平移π /8个单位，再向下平移π2个单位，得到y=根号2cos2x的图像，求a的值问题补充：

Answer 1

f（x)=acos²x+2bsinxcosx+sin²x
把a=3，b=√3代入
得：f(x)=3cos²x+2√3sinxcosx+sin²x
cos²x+sin²x=1
∴f(x)=cos²x+sin²x+2cos²x+2√3sinxcosx
=1+2cos²x+2√3sinxcosx
cos2x=2cos²x-1
sin2x=2sinxcosx
∴f(x)=cos2x+√3sin2x+2
=2(1/2cos2x+√3/2sin2x)+2
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
1/2=sinπ/6, √3/2=cosπ/6
∴f(x)=2sin(π/2+2x)+2
化到这一步f（x）的单调区间会求了吧

追问

同学，那第二问怎么办啊？第一问做的超经典

追答

什么叫向下平移π2个单位啊，是不是打错了啊
把b=1代入得
f(x)=acos²x+sin2x+sin²x
∵把f(x)向左平移π /8个单位，再向下平移π/2个单位，得到y=√2cos2x的图像
∴把y=√2cos2x向上平移π/2个单位，再向右平移π/8个单位，就得到f(x)=acos²x+sin2x+sin²x
则√2cos2(x-π/8)+π/2=acos²x+sin2x+sin²x
即√2cos(2x-π/4)+π/2=acos²x+sin2x+sin²x
√2（cos2xcosπ/4+sin2xsinπ/4)+π/2=acos²x+sin2x+sin²x
√2(√2/2cos2x+√2/2sin2x)+π/2=acos²x+sin2x+sin²x
cos2x+sin2x+π/2=acos²x+sin2x+sin²x
cos2x+π/2=acos²x+sin²x
cos2x+π/2=a/2*(2cos²x-1+1)+sin²x
cos2x+π/2=a/2*cos2x+a/2+sin²x
∵1-2sin²x=cos2x
∴cos2x+π/2=a/2*cos2x+a/2+(-1/2)(1-2sin²x)+1/2
cos2x+π/2=a/2*cos2x+a/2-1/2cos2x+1/2
cos2x+π/2=(a/2-1/2)cos2x+a/2+1/2
∴a/2+1/2=1
∴a=3

Answer 2

（1），f（x）=3cos²x+2(根3）sinxcosx+sin²x=2cos²x+2(根3）sinxcosx+1=cos2x+根3 sin2x+2=2sin（2x+π/6）+2.当2kπ+π/2<=2x+π/6<=2kπ+3π/2，(k属于Z) 。kπ+π/6<=x<=kπ+4π/3
单减区间[kπ+π/6，kπ+4π/3],
（2）b=1，f（x)=acos²x+2sinxcosx+sin²x=（a-1）/2（cos2x+1）+sin2x+1=根{[(a-1)/2]²+1}sin(2x+β)+（a+1）/2，向左平移π /8个单位，即根{[(a-1)/2]²+1}sin(2（x+π /8）+β)+（a+1）/2 -2=根号2cos2x=根号2sin（π/2-2x），即[(a-1)/2]²+1=2，（a+1）/2 -2=0，a=3