求不定方程：(x+y)^2=x^3+y^3的正整数解
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(x+y)^2=(x+y)(x^2-xy+y^2)
(x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0
x^2-xy+y^2-x-y=0
2x^2-2xy+2y^2-2x-2y=0
(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2=1+1
x=y=2
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黄先生
2024-12-27 广告
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(x+y)^2=x^3+y^3
=(x+y)(x^2-xy+y^2)
则：(x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0,
由x,y是正整数，则: x+y>0
则：x^2-xy+y^2-x-y=0
整理得: (x+y)(x+y-1)=3xy
由x,y都是正整数，则：3|(x+y)(x+y-1)
于是：x+y≄3k-1(k是正整数)(否则，x+y=3k-1, x+y-1=3k-2, 两者相乘一定不整除3)。其中：k>=1
(1)x+y=3k
于是：3k-1=xy
则: x,y是方程：a^2-3ka+(3k-1)=0的根
则：a=1或3k-1
即: x=1, y=3k-1 或x=3k-1, y=1(k是正整数)是不定方程的根。
(2)x+y=3k-2
此时，由于x,y>=1, 因此x+y≄1=3-2, 因此，k>=2
x+y-1=3k-3=xy
x,y是方程a^2-(3k-2)a+(3k-3)=0的根。
则：a=1或3k-3
即：x=1,y=3k-3 或y=1, x=3k-3是不定方程的根（k是大于等于2的正整数）。
=(x+y)(x^2-xy+y^2)
则：(x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0,
由x,y是正整数，则: x+y>0
则：x^2-xy+y^2-x-y=0
整理得: (x+y)(x+y-1)=3xy
由x,y都是正整数，则：3|(x+y)(x+y-1)
于是：x+y≄3k-1(k是正整数)(否则，x+y=3k-1, x+y-1=3k-2, 两者相乘一定不整除3)。其中：k>=1
(1)x+y=3k
于是：3k-1=xy
则: x,y是方程：a^2-3ka+(3k-1)=0的根
则：a=1或3k-1
即: x=1, y=3k-1 或x=3k-1, y=1(k是正整数)是不定方程的根。
(2)x+y=3k-2
此时，由于x,y>=1, 因此x+y≄1=3-2, 因此，k>=2
x+y-1=3k-3=xy
x,y是方程a^2-(3k-2)a+(3k-3)=0的根。
则：a=1或3k-3
即：x=1,y=3k-3 或y=1, x=3k-3是不定方程的根（k是大于等于2的正整数）。
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(x+y)^2=(x+y)(x^2-xy+y^2)
(x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0
x^2-xy+y^2-x-y=0
2x^2-2xy+2y^2-2x-2y=0
(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2=1+1
x=y=2
(x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0
x^2-xy+y^2-x-y=0
2x^2-2xy+2y^2-2x-2y=0
(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2=1+1
x=y=2
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