Question

设a^3+b^3=2,求证：a+b<=2

设a^3+b^3=2,求证：a+b<=2

Answer 1

给你
1.反证法
假设x+y>2
x³+y³ > x³+(2-x)³ = 6x²-12x+8 = 6(x-1)²+2 ≥ 2
与x³+y³=2 矛盾
即原命题的逆否命题不成立，则原命题不成立

2.不等式
x³y + xy³≥2√(x³y*xy³)=2x²y²
x²+y²≥1/2x²+1/2y²+xy=1/2(x+y)²
(x+y)(x³+y³)=x^4 + y^4 + x³y + xy³≥x^4 + y^4 + 2x²y²=(x²+y²)²≥1/4(x+y)^4
所以
(x+y)³≤4(x³+y³)=8
所以x+y≤2

两种解法

Answer 2

不妨设a=b，则代入得a=b=1得证

追问

怎么可以这么设？！

追答

这个题目是一道国际奥数的题目，在成为题目之前，是一个数学家提出的猜想，当时国际奥数委员会把这个数学猜想放在了考试中，因为之前，有很多数学家想尽了很多办法，都使这个猜想得不到证明。结果，在考试中，有11个高中生直接写出了答案。就是上面我写的。数学家的猜想也被证明了！