Question

若不等是mx^2-2x+1-m<0对满足-2≤m≤2一切实数m的取值都成立,求x的取值范围

Answer 1

mx^2-2x+1-m<0
(x^2-1)m<2x-1
(1) 当x=1时，0<1成立
(2)当x=-1时，0<-3不成立
(3)当x>1或x<-1时，m<(2x-1)/(x^2-1)恒成立
则(2x-1)/(x^2-1)>2 2x^2-2x-1<0 (1-√3)/2<x<(1+√3)/2
所以1<x<(1+√3)/2
(4)当-1<x<1时 m<(2x-1)/(x^2-1)恒成立
则(2x-1)/(x^2-1)<-2 2x^2+2x-3>0 x<(-1-√7)/2或x>(-1+√7)/2
所以1>x>(-1+√7)/2
综上：(-1+√7)/2<x<(1+√3)/2

Answer 2

设 f(m)=mx^2-2x+1-m=(x^2-1)m-(2x-1)
显然关于m的函数f(m)的图像是一条直线。
由于不等式mx^2-2x+1-m<0对满足-2≤m≤2一切实数m的取值都成立
则f(-2)<0且f(2)<0
即-2x^2-2x+3<0且2x^2-2x-1<0
解得(√7-1)/2<x<(1+√3)/2
即x的范围是(√7/2-1/2,1/2+√3/2 )

如果题目改为“若不等式mx^2-2x+1-m<0对满足-2≤x≤2一切实数x的取值都成立,求m的取值范围”，则解法类似。
设g(x)= mx^2-2x+1-m
因为不等式mx^2-2x+1-m<0对满足-2≤x≤2一切实数x的取值都成立,
则
①当m=0时，g(x)=-2x+1,
g(-2)=5>0,不合题意。
②当m<0时，g(x)是开口向下的抛物线
则符合题意的情况只有两种：
一种是顶点在x=±2之间，Δ<0，即4-4m(1-m)<0,无解。
另一种情况是顶点在x=±2之外，|m/2|>2且g(-2)<0且g(2)<0
解得m<-4
③当m>0时，g(x)是开口向上的抛物线
g(-2)<0且g(2)<0
则m<-5/3，显然此时与前提m>0矛盾。
总之m范围是(-∞,-4)

Answer 3

你可以将mx^2-2x+1-m换成以m为主元，即y=m(x^2-1)-2x+1看成一次函数，要满足不等式，只要满足f(2)<0且f(-2)<0,则2x^2-2x-1<0,2x^2+2x-3>0,你解不等式组，取交集

Answer 4

把m看成自变量 可得 f（m）=（x²-1）m-2x+1
此函数为关于m的一次函数 而一次函数的图像是一条直线
故 当-2≤m≤2时 只需满足 f（-2）＜0 且 f（2）＜0 即可
。。。。。
答案自己算下吧，。。