Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点.

（I）求证：BD⊥FG；
（II）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由.

Answer 1

(1)ABCD是正方形，所以BD⊥ AC
PA⊥面ABCD，BD在面ABCD上，所以PA⊥ BD
AC,PA都是面PAC 上的直线，所以BD⊥面PAC
FG是面PAC 上的直线，所以BD⊥FG

（2）分别做FG// PD交CD于F'，FH// PB交CB于H'，连接F'H'，交AC于G'
易证面FF'H'//面PBD
FG'是面FF'H'上的直线，所以FG'//平面PBD
则G'即是G，是EC 的中点

Answer 2

证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∵FG⊂平面PAC，
∴BD⊥FG（7分）
解（Ⅱ）：当G为EC中点，即AG=34AC时，
FG∥平面PBD，（9分）
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，
而FG⊂平面PBD，PE∥平面PBD，
故FG∥平面PBD．（13分）