Question

如图。E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD与CE交点F，求证：AF垂直BE

初二

Answer 1

解答提示：
延长AF交BC的延长线于H，设AF、BE交于G
由正方形和中点的条件得：
EF/CF＝DE/BC＝1/2
所以AE/CH＝EF/CF＝1/2
所以CH＝BC
所以AE＝BH/2
所以EG/GB＝AE/BH＝1/4
所以EG＝BE/5
设正方形边长为2a，则容易得出：
AE＝a，AB＝2a
根据勾股定理得BE＝√5a
所以EG＝√5a/5
所以AE/EG＝√5，BE/AE＝√5
所以AE/EG＝BE/AE
因为∠AEG＝∠AEB
所以△AEG∽△BEA
所以∠AGE＝∠BAE＝90度
所以AF⊥BE

这个解答有点烦，下面的方法简单一点：
解答提示：
延长AF交BC的延长线于H，交CD于M，设AF、BE交于G
由正方形和中点的条件得：
EF/CF＝DE/BC＝1/2
所以AE/CH＝EF/CF＝1/2
所以CH＝BC＝AD
所以DM/CMAD/CH＝1
即DM＝CM＝AE
而AB＝AD，∠BAE＝∠ADM
所以可证△ABE≌△DAM
所以∠DAM＝∠BAE
因为∠ABE＋∠AEB＝90度
所以∠DAM＋AEB＝90度
所以∠AGE＝90度
所以AF⊥BE

供参考！JSWYC

Answer 2

延长AF交CD与N,则三角形ABE全等三角形AND,角ABE等于角DAN,角ABE+角AEB=90°，所以角DAN+角AEB=90°，即证明了。

Answer 3

证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴BA=BC，∠ABF=∠CBF=45°
∵BF=BF
∴△ABF≌△CBF
∴∠BAF=∠BCF
易证△ABE≌△DCE
∴∠BAF=∠DCF
∴∠BAF+∠ABE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°
∴AF⊥BE