Question

球面坐标系下的三重积分计算，为什么纬线方向的宽为ρsinφdθ，怎么不是ρdθ？谢谢大侠！

Answer 1

利用球面坐标来求三重积分时候，是利用经线（竖线）和纬线（横线)来分割球体的,

对于上图，如果是rdθ,表示球休赤道处的最大弧长A，并非近似长方体的一个边长B；

近似长方体的边长为rsinφdθ.

你出现这种错误的根本原因是没有理解得用球面坐标求三重积分时候的原理。

你认为下图中的角a和dθ相等了。其实他们的关系是dθsinφ=a

故纬线方向的宽为rsinφdθ

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解决这个问题的目的是为了让后面人有这个疑问时能得到解答。

Answer 2

如果θ是和z轴成角，φ是x轴成角，纬线方向就是ρdθ，经线方向是ρsinθdφ.
你说的那个可能是θ，φ的定义刚好相反了，有时候物理和数学的标注有可能不太一样。

追问

φ 是和z轴成角，θ 是x轴成角，这是数学问题，我想问的是为什么纬线方向是ρsinφdθ，请高手指教。

追答

φ 是和z轴成角，θ 是x轴成角，纬线方向线元不是ρsinφdθ，是ρdφ，而经线方向线元是ρsinφdθ。

追问

书上是那样写的

Answer 3

球坐标系下的微分关系

在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：

dl(r)=dr, dl(φ)=rsinθdφ, dl(θ)=rdθ

球坐标的面元面积是：

dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ

体积元的体积为：

dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ

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