Question

复变函数中的微分中值定理

复变函数微分中值定理怎么讲的啊？

Answer 1

微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具,其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。

目录

费马中值定理
罗尔定理
拉格朗日定理
柯西中值定理
泰勒公式
洛必达法则
达布定理
编辑本段费马中值定理
内容： 设函数f(x)在ξ处取得极值 且f(x)在点ξ处可导 则f'(ξ)=0. 推论：若函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）在I内的点c处达到 且f(x)在点c处可导 则f'(c)=0.
编辑本段罗尔定理
内容： 如果函数f(x)满足： 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0. 几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明， 弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.：
编辑本段拉格朗日定理
内容： 如果函数 f(x) 满足： 1)在闭区间[a,b]上连续； 2)在开区间(a,b)内可导。 那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)， 使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
编辑本段柯西中值定理
内容： 如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)对任一x(a,b)，F'(x)≠0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式 [f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'()/F'(ξ) 成立 [中值定理]分为： 微分中值定理和积分中值定理： 以上四个为微分中值定理 定积分第一中值定理为： f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)（存在ξ使得该式成立） 以下为导数的应用：
编辑本段泰勒公式
内容 ：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 推论：麦克劳林公式 内容： 若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1.
编辑本段洛必达法则
内容： 设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； (3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 又设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。