Question

高一数学解不等式值域误差问题，求高手解答，真心迷惑

先建立一个情景
已知 1<=a-b<=2 条件1
2<=a+b<=4 条件2
求4a-2b的值域

有这么一种解法
步骤一 由条件1+条件2 求得 4a的值域
步骤二 条件2变形成 -2<＝b-a<=-1 （条件3）
由 条件3+条件1 求得 b的值域
之后得到 -b 值域
步骤三 由步骤一步骤二所得相加
求得 4a-2b 值域

最后解得这个值域是 [3,12]

但是老师说这种方法有误差，不精准什么的
说要用换元法做（就是设a+b=艾尔法 a-b=贝塔）
之后求得的值域就在之前的值域里面

下面是我的问题
为什么值域会出现误差？（偏大）
别用什么抽象的概念解释，我就听老师的解释根本不明白
所以我要个直观一点的
比如直接用数字的例子等等实际一点的例子说

我就是不明白
我一步步按照步骤解题
并没有不合理的步骤
为什么最后的值域还是偏大

老师解释不明白，
谁来帮帮我解释下

Answer 1

LZ我高中时也同样有过这样的疑惑。按照这样做貌似每步都合情合理，但求出来的结果往往不精确，就是说所求出的值域范围大了。我简单说一下吧，题目所给出的a和b，不是孤立给出的，他们是互相关联的(认真考虑这句话)，所给出的取值范围是a-b也a+b的范围。互相关联也就是互相牵制，就意味着当其中一个取得最大或最小值的时候，在必须满足已知条件限制的前提下另一个往往是取不了最值的。而楼主则是选择将其中一个抵消掉，分别分离出来孤立对待,理想化地同时取了两个的最大(小)值来求得值域了，就是问题所在。根据你老是介绍的方法我相信你也做得出来，我就不再做出答案了。

Answer 2

问提出在你单独的计算了A,B..有的时候假设在A的取值范围内的一个数P.但按你方法通过A所对应的B是取不到数的..所以P这个数就不应该在A的取值范围里面....

Answer 3

原因在于条件一和条件二的等号有可能不能同时取到，因此直接加会导致结果偏大。
比如：当a=3，b=1时，a-b=2，a+b=4,此时一二式右边等号成立，但左边等号不成立，
所以直接加会导致范围变大。其实有很多时候两个不等式的等号是不能同时取到的，要注意。具体解法我想你老师讲过了，就不说了。

Answer 4

凡是有关式子的值域问题都不能随便的加减的，如果是一个数就可以，比如2<a<6,1<b<5的话，就可以了，但是a+b和a-b又和集合的交集那些又是不同的
其实这些问题你可以代入几个数去验证就行了
如果按你那样做的话， 4a-2b 的值域是 [3,12]
但是如果我a=2,b=3,你的条件就不成立了
所以不等式式子的混算是不行的
步骤一 由条件1+条件2 求得 4a的值域
你怎么有4a呢，你把它乘2了》？？？？