Question

已知定义在区间[-π，2π/3]上的函数y=f（x）的图像关于直线x=-π/6对称，当下∈[-π/6，2π/3]时，

函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，-π/2＜φ＜π/2），其图像如图所示。
（1）求函数函数y=f（x）在[-π，2π/3]的表达式；
（2）求方程f（x）=（根号2）/2的解。

求详解，要步骤。谢谢。

Answer 1

（1）
x∈[-π/6，2π/3]时,
f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，-π/2＜φ＜π/2）
易知A=1,
由 2π/3-π/6=T/4=π/(2w) 得w=1
将x=π/2代入，π/6+φ=2kπ+π/2,
∴φ=2kπ+π/3,k∈Z
∵-π/2＜φ＜π/2
∴φ=π/3
∴f(x)=sin(x+π/3)
当x∈[-π，-π/6）时，
-π/3-x∈（-π/6，2π/3]
∴f(-π/3-x）=sin(-π/3-x+π/3)=-sinx
∵在[-π，2π/3]上，f(x)图像关于x=-π/6对称
∴x∈[-π，-π/6）时，
f(x)=f(-π/3-x）=-sinx
所以
f(x)={ sin(x+π/3), x∈[-π/6，2π/3]
{-sinx ，x∈[-π，-π/6）
（2）
x∈[-π/6，2π/3]时，f(x)=√2/2
即sin(x+π/3)=√2/2
∴x+π/3=π/4或x+π/3=3π/4
得到x=-π/12或x=5π/12

当 x∈[-π，-π/6）时，
f(x)=-sinx=√2/2,sinx=-√2/2
∴x=-π/4或x=-3π/4

∴f(x)=√2/2的解集为{-3π/4,-π/4,-π/12,5π/12}

追问

我没怎么看懂求[-π,-π/6]上的函数解析式的方法。

追答

f(x)关于直线x=a的对称
那么f(x)=f(2a-x)

本例：
f(x)关于直线x=-π/6的对称
那么f(x)=f(-π/3-x)
你再体会一下吧