Question

高中数学

Answer 1

在ΔMF1F2中，根据正弦定理
|MF1|/sinB=|MF2|/sinA=2c/sinM=2c/sin(A+B)
|MF1|=2csinB/sin(A+B),|MF2|=2csinA/sin(A+B)
又根据双曲线定义：
M在右支上时
|MF1|-|MF2|=2a
∴2csinB/sin(A+B)-2csinA/sin(A+B)=2a
c(sinB-sinA)/sin(A+B)=a
c/a* [2cos(B+A)/2*sin(B-A)/2]/[2sin(A+B)/2cos(A+B)/2]=1
∴e*(sinB/2cosA/2-cosB/2sinA/2)=sinB/2cosA/2+cosB/2sinA/2
∴（e-1)sinB/2cosA/2=(e+1)cosB/2sinA/2
∴(sinA/2cosB/2)/(cosA/2sinB/2)=(e-1)/(e+1)
即tanA/2cotB/2=(e-1)/(e+1)
M在左支上时，

|MF1|-|MF2|=-2a
∴2csinB/sin(A+B)-2csinA/sin(A+B)=-2a
c(sinB-sinA)/sin(A+B)=-a
c/a* [2cos(B+A)/2*sin(B-A)/2]/[2sin(A+B)/2cos(A+B)/2]=-1
∴e*(-sinB/2cosA/2+cosB/2sinA/2)=sinB/2cosA/2+cosB/2sinA/2
∴（e+1)sinB/2cosA/2=(e-1)cosB/2sinA/2
∴(sinA/2cosB/2)/(cosA/2sinB/2)=(e-1)/(e+1)
即tanA/2cotB/2=(e+1)/(e-1)