Question

已知方程x^2+y^2-2x-4y+m=0，(1)若此方程表示圆，求m的取值范围; (2)若(1)

已知方程x^2+y^2-2x-4y+m=0，(1)若此方程表示圆，求m的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两，且0M⊥0N(0为坐标原点)求m的值、(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程

Answer 1

(1)若此方程表示圆，则可以写成(x-1)^2+(y-2)^2=5-m，圆的圆心为(1,2)，圆的半径不能小于等于0，因此5-m>0，m<5。
(2)圆与直线相交于两点M和N，且OM垂直于ON，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则可知OM的斜率为k1=y1/x1，ON的斜率为k2=y2/x2，相互垂直则k1k2=-1，即x1x2+y1y2=0，再由于MN是圆与直线的交点，因此x1和x2是直线方程代入圆方程后的两个根，即方程为x^2+(4-x)^2/4-2x-2(4-x)+m=5x^2/4-2x+m-4=0，由韦达定理可知x1x2=4(m-4)/5，而y=(4-x)/2，因此y1y2=(4-x1)(4-x2)/4=4-(x1+x2)+x1x2/4=4-4/5+(m-4)/5=12/5+m/5，即x1x2+y1y2=4m/5-16/5+12/5+m/5=m-4/5=0，m=4/5。
(3)m=4/5，则代入方程5x^2/4-2x+m-4=0可得25x^2-40x-64=0，解得x=(4±4√5)/5，因此对应的y=(8±2√5)/5，即可知MN两点的坐标为((4-4√5)/5,(8+2√5)/5)和((4+4√5)/5,(8-2√5)/5)，MN的中点即为圆心，坐标为(4/5,8/5)，MN之间的距离为√{[(4+4√5)/5-(4-4√5)/5]^2+[(8-2√5)/5-(8+2√5)/5]^2}=√[(8√5/5)^2+(4√5/5)^2]=4，因此以MN为直径的圆的半径为2，所以以MN为直径的圆的标准方程为(x-4/5)^2+(y-8/5)^2=4。

Answer 2

（1）、x^2+y^2-2x-4y+m=0，
——》(x-1)^2+(y-2)^2=5-m>0，
——》m<5；
（2）、设M为(x1,y1)，N为(x2,y2)，
直线x+2y-4=0，——》x=4-2y，
代入圆的方程，得：(4-2y-1)^2+(y-2)^2=5-m，
整理得：5y^2-16y+(m+8)=0，
——》y1+y2=16/5，y1*y2=(m+8)/5，
M、N在直线x+2y-4=0上，
——》x1=4-2y1、x2=4-2y2，
kom=y1/x1，kon=y2/x2，
OM⊥ON，
——》kom*kon=-1=y1*y2/x1*x2，
——》x1*x2+y1*y2=0，
——》(4-2y1)*(4-2y2)+y1*y2=16-8(y1+y2)+5y1*y2=16-8*16/5+5*(m+8)/5=0，
——》m=8/5；
（3）、m=8/5代入方程得：5y^2-16y+(8/5+8)=0，
解得：y1=12/5，y2=4/5，
——》x1=4-2y1=-4/5，x2=4-2y2=12/5，
即M为(-4/5,12/5)，N为(12/5,4/5)，
——》MN中点坐标为(4/5,8/5)，
以MN为直径的方程圆的方程为：
(x-4/5)^2+(y-8/5)^2=(-4/5-4/5)^2+(12/5-8/5)^2=16/5，
即：5x^2+5y^2-8x-16y=0。