Question

已知方程x2+y2-2x-4y+m=0 （1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且坐标原点O在以MN为径的圆上，求实数m的值．
解：（1）方程x2+y2-2x-4y+m=0可化为（x-1）2+（y-2）2=5-m
∵方程表示圆，
∴5-m＞0，即m＜5；
（2）直线x+2y-4=0代入圆的方程，消去x可得：5y2-16y+8+m=0
∵△＞0，∴m＜
245
，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=
165
，y1y2=
8+m5

∴x1x2=（4-2y1）（4-2y2）=16-8（y1+y2）+4y1y2=
-16+4m5

∵坐标原点O在以MN为径的圆上，
∴
OM
•
ON
=0
∴x1x2+y1y2=0
∴
-16+4m5
+
8+m5
=0
∴m=
85
．

中x1x2=（4-2y1）（4-2y2）=16-8（y1+y2）+4y1y2=-16+4m5这一步是怎么得到的，谁能解答，20财富送上

Answer 1

解：（1）x²+y²-2x-4y+m=0
（x-1）²+（y-2）²=5-m

5-m＞0
m＜5；

（2）直线x+2y-4=0代入圆的方程，消去x可得：
5y²-16y+8+m=0
∵△＞0
∴m＜24/5
令M（x1，y1），N（x2，y2）
y1+y2=16/5，y1y2=(8+m)/5
∵x+2y-4=0,x=4-2y

∴x1=4-2y1,x2=4-2y2
x1x2=（4-2y1）（4-2y2）=16-8（y1+y2）+4y1y2=(-16+4m)/5
∵坐标原点O在以MN为径的圆上，
∴OM•ON=0
∴x1x2+y1y2=0
∴(-16+4m)/5+(8+m)/5=0
∴m=8/5

Answer 2

y1+y2=16/5，y1y2=（8+m）/5

∵ M（x1，y1），N（x2，y2），在直线x+2y-4=0上
∴x1=4-2y1,x2=4-2y2
∴x1x2=（4-2y1)(4-2y2）
=16-8（y1+y2）+4y1y2 （乘开）

还有别的问题请追问

Answer 3

因为由直线方程x+2y=4,得：x=4-2y
所以x1=4-2y1
x2=4-2y2
x1x2展开即得：16-8y1-8y2+4y1y2
而y1,y2满足方程：5y^2-16y+8+m=0
由韦达定理，有：y1+y2=16/5, y1y2=(8+m)/5,
代入即得。