Question

对于任意的t属于R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立，求k的取值范围

f（x）=1-2的x次方/2的x次方+1为奇函数，求对于任意的t属于R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立，求k的取值范围

Answer 1

f（x）=(1-2^x)/(2^x+1)为奇函数

满足f(-x)=-f(x)
下面再看f(x)的单调性：
f(x)=[2-(2^x+1)]/(2^x+1)
=2/(2^x+1)-1
∵2^x+1是增函数，
∴2/(2^x+1)是减函数
∴f(x)=2/(2^x+1)-1是减函数

不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立
即f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2)恒成立
根据单调性，
t^2-2t>k-2t^2恒成立
∴k<3t^2-2t恒成立
因为3t^2-2t=3(t-1/3)^2-1/3
∴当t=1/3时，3t^2-2取得最小值为-1/3
∴k<-1/3