Question

分别求证a²+b²+c²≥ab+ac+ bc和√6+√7＞√8+√5

Answer 1

第1题：
a²+b²+c²≥ab+ac+bc

因为：
2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc
=a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²
=(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²≥0

所以：2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc≥0

移项得：2a²+2b²+2c²≥2ab+2ac+2bc；

两边同时除以2得：
a²+b²+c²≥ab+ac+bc

第2题：
√6+√7＞√8+√5；

（√6+√7）²=6+7+2√42=13+2√42；

（√8+√5）²=8+5+2√40=13+2√40；

因为：42>40；
所以：√42 > √40；

2√42 > 2√40；

13+2√42>13+2√40；

（√6+√7）²>（√8+√5）²；

√6+√7>√8+√5。

Answer 2

1.（a-b)^2 + (b-c)^2) + (a-c)^2 >=0
展开得除以二然后移项即可得证。
2. 由于两边都大于0，两边同时平方，可得
6+7+2√6√7 > 5+8+2√8√5
即 √42 > √40 得证。