Question

菱形ABCD中、E是AD的中点,EF⊥AC交CB的延长线于F,交AC、AB于G ,交CD的延长线于点F

在菱形ABCD中、E是AD的中点,EF⊥AC交AB于点GF,交CB的延长线于点F， ,求证；AB与EF互相平分

Answer 1

求证：AB与EF互相平分，即求证：GE=GF且GA=GB
又，角AGE跟角BGF是对顶角
所以即求证：三角形AGE跟三角形BGF是全等三角形
连接BD,因为ABCD是菱形
所以BD⊥AC
又因为EF⊥AC，所以EF平行BD
因为AD也平行CF，所以四边形EDBF是平行四边形
则，FB=ED
因为E是AD的中点，所以AE=DE,所以FB=AE
又根据平行四边形内错角相等，所以角DAB=角ABF,角EFB=角AEF
由角DAB=角ABF,角EFB=角AEF，FB=AE
三个条件就可以证明三角形AGE跟三角形BGF是全等三角形（角边角）

Answer 2

设AC、EF交点为O。
菱形=》∠GAO=∠OAE
垂直=》∠GOA=∠EOA=90
所以△AOE≌△AOG
所以AG=AE
E是中点=》AG=AE=1/2*AD=1/2 * AB => G 是AB中点。
△AGE≌△BGF
所以EG=FG
即AB与EF互相平分

Answer 3

连接BD，∵ABCD为菱形
∴BD⊥AC
又∵EF⊥AC，E为AD中点
∴BD‖EF
根据中位线定理，G为AB中点，AG=BG
∵AD‖BC
∴∠DAB=∠ABF
∵∠AGE=∠FGB
∴△AGE≌△BGF
∴EG=FG
∴AB，EF互相平分