Question

已知f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(-1,0),判断是否存在常数a,b,c 使得不等式x<=f(x)<=(1+x^2 /2）

已知f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(-1,0),判断是否存在常数a,b,c 使得不等式x<=f(x)<=(1+x^2 /2）对一切实数x成立

图象过点(-1,0):0=a-b+c,b=a+c,f(x)=ax^2+(a+c)x+c.
不等式x<=f(x)对一切实数x成立:
a>0,(a+c-1)^2-4ac<=0.....................(1)
//有些小疑问a>0是否因为条件一切实数，还有他的符号方向是否向错了方向//

不等式f(x)<=(1+x^2)/2对一切实数x成立:
a-1/2<0,(a+c)^2-4(a-1/2)(c-1/2)<0.........(2)
由(1):(a+c)^2-4ac-2(a+c)+1<=0............(3)
由(2):(a+c)^2-4ac+2(a+c)-1<=0............(4)
(3)+(4):2(a+c)^-8ac<=0,
2(a-c)^2<=0,
a=c.
代入(1)得：-4a+1<=0,
代入(2)得：4a-1<=0,
4a-1=0,a=1/4,c=a=1/4,b=a+c=1/2.
a=1/4,b=1/2,c=1/4时，满足问题所有要求。

看完答案我有这样的思路帮我看看是否正确
第一！这题的确很难...~！~（看答案也让我冒着汗）

第二！把给出的点代入原公式得出公式one！把one公式导入原公式，把整理过的原公式代入给出的不等式条件！之后根据条件“X一切实数成立”的所以函数的没有根 所以b^2-4ac需要小于0！且a>0是因为x<=f(x) 得出公式0<=ax^2+(a+c-1)x+c.只要图像开口向上就会没有负值！所以a需要大于0！
综合范围限制和条件求出a，b，c！我是否理解正确！？

Answer 1

理解基本正确。
1)不等式f(x)-x≥0对一切实数x成立，则图像f(x)-x在x轴上上方(a>0)
且最多只有一个切点，即方程f(x)-x=0没有根，或者有一个重根，所以△≤0
2)答案给出了a≥1/4，并得到a=1/4，此时对应的是x<=f(x)<=(1+x^2 /2)严格成立，即存在x值使等号成立
如果a>1/4,则不等式仍然成立，只是等号不成立而已。（也是对的，因为我们可以写3≤5，等号也是不成立的）

Answer 2

(1+x^2/2）的意思是（1+x^2)/2??
图象过点(-1,0):0=a-b+c,b=a+c,f(x)=ax^2+(a+c)x+c.
不等式x<=f(x)对一切实数x成立:
a>0,(a+c-1)^2-4ac<=0.....................(1)
不等式f(x)<=(1+x^2)/2对一切实数x成立:
a-1/2<0,(a+c)^2-4(a-1/2)(c-1/2)<0.........(2)
由(1):(a+c)^2-4ac-2(a+c)+1<=0............(3)
由(2):(a+c)^2-4ac+2(a+c)-1<=0............(4)
(3)+(4):2(a+c)^-8ac<=0,
2(a-c)^2<=0,
a=c.
代入(1)得：-4a+1<=0,
代入(2)得：4a-1<=0,
4a-1=0,a=1/4,c=a=1/4,b=a+c=1/2.
a=1/4,b=1/2,c=1/4时，满足问题所有要求。