Question

函数y=1/(x^2+2x-8)的单调递增区间是

函数y=1/(x^2+2x-8)的单调递增区间是（ ）
麻烦过程！谢谢！

Answer 1

原函数可拆成：
y=1/t (t≠0)
t=x^2+2x-8
由于t≠0,
即，
(x-2)(x+4)≠0
x≠-4,x≠2
抛物线t=x^2+2x-8 开口向上，对称轴为：x=-1;
(1)
当x<-4 时，
函数t=x^2+2x-8 单调减；
t>0
函数 y=1/t 单调减；由复合函数单调性的同增异减性知：
原函数是增函数，所以
(-∞,-4)是它的一个单调增区间；
(2)
当 -4<x≤-1 时，
函数t=x^2+2x-8 单调减；
t<0
函数 y=1/t 单调减；由复合函数单调性的同增异减性知：
原函数是增函数，所以
( -4 -1]是它的另一个单调增区间；
当x>-1时，
函数t=x^2+2x-8 单调增，而函数y=1/t 时减函数，这时的原函数是单调减，不再有单调增
区间了；
综合可知；
函数 y=1/(x^2+2x-8) 的单调增区间为：
(-∞,-4) ；( -4 -1]

Answer 2

令y=1/t,t=x^2+2x-8,且t不等于0.
t为二次函数，可知a=1,b=2,c=-8
由求根公式可得x = [-b±√(b2-4ac)]/(2a)代入数据

求得x1=2,x2=-4,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，代入数据，顶点坐标为（-1，-9）。则t的递减区间为（负无穷，-4）∪（-4,-1】，递增区间【-1,2）∪（2，正无穷） （楼主画个T的图像）
又y=1/t，根据同增异减原则，则y在（负无穷，-4）∪（-4,-1】上单调递增，在【-1,2）∪（2，正无穷）单调递减

Answer 3

首先，该函数是由f(x')=1/x'，和x'=x^2 2x-8复合而成，已知f(x')在负无穷到0和0到正无穷单调减(x'不包括0)，且易知x'在负无穷到-1单减，在-1到正无穷单增。所以由复合函数同增异减的性质可得原函数在负无穷到-1单调增，在-1到正无穷单调减且x不等于-4或2.