Question

关于积分上限函数的问题

又来麻烦您了，这次想问一下关于积分上限函数的问题.对定积分求导等于被积函数，最早我是用速度和路程的那个例子从几何意义上理解的。（速度函数的定积分是路程，对该积分求导又是某一X值下的速度的值）。高等数学上册P183：积分下限函数∫关于下限X的导数等于被积函数在下限X处的值的相反数。从公式的角度我能理解.也就是该书在这一段话上的证明。但是从意义或几何的角度怎么理解呢？比如路程和时间（当然不一定要这个例子）.您看这么好解释，容易理解就怎么解释吧！谢谢！

Answer 1

首先，定积分是一个定值，不定积分是一个函数集合，对定积分求导等于0，对不定积分进行积分变量求导才等于被积函数； 其次，应该是变下限积分--没有“积分下限函数”之说--关于积分变量(不是关于下限X)的导数等于被积函数在下限X处的值的相反数。现在，设被积函数为f(t)，积分变量为t，变下限为x，则此处导数为-f(x)； 再次，导数的含义是因变量相对自变量的变化率，以变上限积分为例，以位移、时间和速度为例，因变量位移在某一时刻t的关于自变量时间t的变化率即单位时间位移的增量，其实就是瞬时速度v(t)。变下限积分因积出的位移是负的，得出的速度自然是负的； 总之，欣赏你追求科学的问到底的精神，但建议你不必过于纠结其几何、物理意义的彻底说明，能理解可应用就足够了，与其此时困惑于此小节踟蹰不前，不如多多接触相关概念理论深入感悟数学各个方面，会当临绝顶，一览众山小，高度变了，角度自然就变了，问题终将迎刃而解。

追问

感谢你的回答，这个问题本来是求教于wji371116的。对于你最后的一句话，我很认同，我也多次在相当长一段时间后理解了以前的问题。但是关于上面的问题，首先，你认为错的那一段话是我从书上原话摘下来的。其次你说变下限积分积出位移是负的，这是为什么？如果这一问题能说明清楚，差不多就解决了吧。

追答

嗯，是我个人使用习惯的问题，我的错，你的引用的确有据可查，是正确的，但不知道你用的是哪一版的高等数学，据说同济大学高等数学第六版现在是主流教材，我上网查了下，在这本书上册里的第237页提到了“积分上限的函数”；至于积分下限的函数的问题，我表达的不是很清晰，应该说是不准确，我个人非数学专业，思维力量也有限，只能在此基础上再抽象不多事例，权且扔块砖，你也只当一家之见，择其善，鉴其非，不必太计较。还以位移、时间和速度为例，如果非得弄明白一些定积分的物理解释，这里就得与常见的物理概念稍异，不要混淆，实际上三个物理量都是矢量，一般，时间以过去为-∞，以现在为0点，以将来为+∞，这种解释的意义在于使得积分变量t构成二维直角坐标中完整的横轴，并且可以倒着积分，即，能使时间倒流，这才能体现完整的几何意义上的定积分概念。好了，现在，既然是矢量，就必须为位移规定正方向，很简单，正向的速度乘以正向的时间得到正向的位移增量，反之，正向的速度乘以反向的时间得到反向的位移增量。以上只是讲了一些个人所见“几何化”的物理定积分概念，仅供你参考。进入正题，速度积分从t1到t2表示的是t2-t1时间段的位移增量，当然是t2时的位移减去t1时的位移，这样，t1时的位移前就出现了负号，负号不代表负位移，对时间t在时刻t1求导后，得到的速度v(t1)前自然出现了负号。还是那句话，以开阔视野为学习正方向，以君之博见解君之所惑，共勉。

Answer 2

我用粗黑的中括号【a，b】表示积分限，前面的数a是下限，后面的数b是上限。如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分上限确定的函数Ф(x)=【a，x】∫f(t)dt在区间[a，b]上存在导数，并且Ф'(x)=f(x)。由此得到定积分的计算公式：如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a，b]上的一个原函数，则【a，b】∫f(x)dx=F(b)-F(a).这些你已经很清楚了。
那么由积分下限确定的函数Ф(x)=【x，a】∫f(t)dt的导数Ф'(x)等于什么？按积分运算规则：上下限颠倒积分要改变符号,故Ф(x)=【x，a】∫f(t)dt=-【a，x】∫f(t)dt，于是Ф'(x)=-f(x).
如果被积函数是v(t)，v是质点运动的速度。那么S=【a，x】∫v(t)dt就是质点从时刻a到时刻x所
走过的路程。其导数dS/dx=v(x)；而S=【x，a】∫v(t)dt就是质点从时刻x到时刻a所走过的路程。其导数dS/dx=-v(x)；负号告诉我们：质点在往回走，其运动速度与原来的方向相反，故取负值。