Question

高中理数立体几何

已知MN是正方体内切球的一条直径，点O在正方体表面上运动，正方体棱长为2 则向量OM 点积 向量ON取值范围

Answer 1

已知MN是正方体内切球的一条直径，点O在正方体表面上运动，正方体棱长为2 则向量OM 点积向量ON取值范围

由题意，可设M、N分别是内切球在正方体左、右侧面的切点，T为球心，在正方体表面移动点O并观察，可得当O与正方体的某个顶点重合时，向量OM*向量ON达到最大值；当O与正方体某个面的中心重合时，向量OM*向量ON达到最小值．由此得到数积向量OM*向量ON的取值范围．
向量OM*ON=(OT+TM)*(OT+TN)=OT^2+OT*TN+TM*OT+TM*TN
=OT^2+OT*(TN+TM)+TM*TN=OT^2-1
∵正方体棱长为2
当O与正方体的某个顶点重合时，|向量OT｜达到最大值√3，向量OM*向量ON达到最大值2；
当O与正方体某个面的中心重合时，|向量OT｜达到最大值1，向量OM*向量ON达到最小值0
∴向量OM*向量ON的取值范围[0,2]

Answer 2

向量OM•ON=|OM||ON|cos0=切线的平方

最短切线长度为0，最长切线长度为：根号2
所以，向量点积范围为[0,2]