Question

初三数学压轴题

已知:如图，点P是边长为4的正方形ABCD的边AD上一点并且不与点A、D重合，MN是线段BP的垂直平分线，与AB、BP、CD交于点M、O、N，设AP=x
①求BM的长（结果用含有x的代数式表示）
②请你判断四边形MNCB的面积是否有最小值？若有最小值，求出使其面积取得最小值时的x的值并求出面积的最小值；若没有最小值，说明你的理由

Answer 1

解：1、连结PM，在Rt△AMP中，PM^2=AM^2+AP^2
即BM^2=(4-BM)^2+x^2
BM=x^2\8+2
2、设CN=y，连结PN，BN
∵MN⊥BP
∴PN=BN
在Rt△DPN中，PN=（4-x）^2+(4-y)^2
在Rt△CNB中，BN=y^2+16
所以（4-x）^2+(4-y)^2=y^2+16
解得y=x^2\8-x+2
S=1\2*(BM+CN)*BC
=1\2*(X^2\8+2+x^2\8-x+2)*4
=x^2\2-2x+8
-b\2a=-(-2\2*1\2)=2
所以当x=2时，面积有最小值，最小值为
4\2-2*2+8=6