Question

设2阶方阵A的特征多项式为f(λ)=λ²-10λ+21，则A^-1的特征多项式为_________ 设α₁=（1,1,0,1

设2阶方阵A的特征多项式为f(λ)=λ²-10λ+21，则A^-1的特征多项式为_________
设α₁=（1,1,0,1），α₂=（2,1,3,1），β₁=（1,0,-1,-1），β₂=（4,1,-7,-3）,W₁=L(α₁,α₂)，W₂=L(β₁,β₂)，则dim（W₁+W₂）=________

在R³中，令σ（x1,x2,x3）=(x1²,x2+x3,x3²),则σ______(填是或不是)R³中的线性变换

后面还有一题，等会补
在欧氏空间R³中，设从一组规范正交基到另一组规范正交基的过度矩阵为T，则detT=______

Answer 1

1. A^-1的特征多项式为 λ²-(10/21)λ+(1/21)
由A的特征多项式为f(λ)=λ²-10λ+21=(λ-3)(λ-7). 所以A的特征值是3,7.
所以 A^-1 的特征值是 1/3, 1/7
所以 A^-1 的特征多项式为 λ^2 - ( 1/3+1/7)λ + (1/3)*(1/7) = λ²-(10/21)λ+(1/21).
2.
3. σ(2(1,2,3)) = σ(2,4,6) = (4,10,36)
2σ(1,2,3) = 2(1,5,9) = (2,10,18)
所以 σ(2(1,2,3)) ≠ 2σ(1,2,3) .
所以 σ不是R³中的线性变换.
补充部分:
标准正交基构成的矩阵是正交矩阵, 正交矩阵的行列式 = ±1.
所以过渡矩阵T的行列式 = 1 或 -1.

Answer 2

由于A的特征多项式为f(λ)=λ²-10λ+21并且A是2阶矩阵，所以可以知道A是可逆的(λ=3,7)。而A^-1就是A逆。所以A逆的特征值为A的特征值的倒数，即1/3和1/7.所以
A逆的特征多项式为f(λ)=(λ-1/3)(λ-1/7)

第二问：求W₁+W₂的维数实际上就是求矩阵(α₁,α₂,β₁,β₂)的维数，因为L(α₁,α₂)只是线性变换，相当于矩阵的初等列变换，不影响矩阵的维数的。

第三问：不是。线性变换肯定是一一映射的。但是明显σ将(1,0,0)映射到(1,0,0)，而将
(-1,0,0)也映射到(1,0,0)上，所以不是的

补充问：detT=1，假设一组规范正交基为x1,y1,z1，其中x1,y1,z1分别是3维列向量。
而另一组规范正交基为x2,y2,z2，其中x2,y2,z2分别是3维列向量。令A=(x1,y1,z1),B=(x2,y2,z2)，那么有B=TA,而detA=1，detB=1，所以T=1