Question

一道证明题！

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC是正三角形．（初二）

Answer 1

1。如图

由已知，角EGO=EFO=90度，所以G、F在以OE为直径的圆上

由角CDO=90度，得点D在以OC为直径的圆上

而OC=OE，所以以上两圆是等圆。

又角COD+COB=GEF+COB=180度，得角COD=GEF

这两个角是两个等圆中的圆周角，而CD和GF分别是它们所对的弦，

所以CD=GF

2。假设三角形PBC不是正三角形，则必能在正方形内找一点Q，使三角形QBC是正三角形

如图，连接QB、QC，

则有QB=AB=QC=CD，角ABQ=DCQ=30度，

角BAQ=BQA=CDQ=CQD=75度

角QAD=QDA=15度

而角PAD=PDA=15度，

从而角QAD与PAD，角QDA与PDA重合，

从而点P与Q重合，三角形PBC与QBC重合

所以三角形PAB是正三角形。