Question

求解几道证明题！

关于排列组合的！

Answer 1

组合数定义：C(m,n)=n!/[m!*(n-m)!]
C(m,n)+C(m-1,n)
= n!/[m!*(n-m)!] + n!/[(m-1)!*(n-m+1)!] 通分
= {n!/[m!*(n-m+1)!]} * [(n-m+1)+m]
= {n!/[m!*(n-m+1)!]} * (n+1)
= (n+1)!/[m!*(n-m+1)!]
= C(m,n+1)
上述等式可以理解为，从 n+1 个数中任意选 m 个【C(m,n+1)】。我们可以从 n+1 个数中随便选取一个a，然后分两种情况进行抽取：
情况1：选取的数必须包含a。其结果相当于从剩下 n 个数中抽取 m-1 个，结果为C(m-1,n)
情况2：选取的数必须不包含a。其结果相当于从剩下 n 个数中抽取 m 个，结果为C(m,n)
所以：C(m,n)+C(m-1,n) = C(m,n+1)

C(2,2) + C(2,3) + C(2,4) + ... + C(2,n)
=C(3,3) + C(2,3) + C(2,4) + ... + C(2,n) 前两项相加
=C(3,4) + C(2,4) + ... + C(2,n) 前两项相加
=C(3,4) + ... + C(2,n) 重复上述操作：前两项相加
=C(3,n) + C(2,n) =C(3,n+1)

1*2*3+2*3*4+3*4*5+...+n*(n+1)*(n+2)
= 1*2*3*[1*2*3/(1*2*3)+2*3*4/(1*2*3)+3*4*5/(1*2*3)+...+n*(n+1)*(n+2)/(1*2*3)]
= 1*2*3*[C(3,3) + C(3,4) + C(3,5) + ... + C(3,n+2)]
= 1*2*3*[C(4,4) + C(3,4) + C(3,5) + ... + C(3,n+2)]
= 1*2*3*C(4,n+3)=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/4