Question

已知数列{an}满足an+1=2an-1，a1=3.

已知数列{an}满足an+1=2an-1，a1=3. （1）求证数列{an-1}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式和前n项和
n为下标

Answer 1

如果条件“an+1=2an-1”的意思是第n+1项等于2倍的第n-1项，那么题目中只给出a1=3将无法证明，建议再加一个条件“a2=3√2”就可以证明数列{an-1}是等比数列了。
如果条件“an+1=2an-1”的意思是第n+1项等于2倍的第n项再减去1，则证明如下：
为了清楚，不妨将第n+1项写成A(n+1)
A(n+1)=2An-1
A(n+1)-1=2An-2
A(n+1)-1=2(An-1)
则[A(n+1)-1]/(An-1)=2
即{An-1}是等比数列
（2）A1-1=2
则An-1=2^(n-1)×（A1-1)=2^n
则An=2^n+1
Sn=An+A(n-1)+……+A1
=(2^n+1)+[2^(n-1)+1]+……+(2+1)
=[2^n+2^(n-1)+……+2]+n
=2(2^n-1)+n
=2^(n+1)+n-2

Answer 2

an+1=2an-1
an+1-2=2a(n-1)-2
an-1=2[a(n-1)-1]
[an-1]/[a(n-1)-1]=2
数列{an-1}是等比数列；
{an-1}是以a1-1=2为首项，2为公比的等比数列
an-1=2*2^(n-1)=2^n
an=2^n+1
Sn=[2^1+2^2+……+2^n]+[1+1+……+1]
=2^(n+1)-2+n

Answer 3

两边同时减2，相除就可以证得第一问
把{an-1}的通项公式求出来，就可以啦