Question

反常积分∫x/√（1+x^2）dx 上下限是正负无穷。求敛散性?

x/√（1+x^2）是奇函数，按理应该是0.但是答案说是发散的。。

Answer 1

对于上下限都是无穷的情况，奇函数 只能保证 当你的下限和上限是相反数时，积分为0。
反常积分本质上讲，是一个极限。如果极限存在，那么，不管下限和上限以何种方式趋向于无穷，积分都应当收敛到同一个值，显然，这一点在这里并不成立。
例如，假定你的积分下限是 - N ，而上限是 2N， 显然，当N趋向于无穷时，积分趋向于正无穷。类似的情况还可举出很多。
所以，极限是不存在的，反常积分发散。
只有当下限和上限以某种固定的方式趋向于无穷时，积分为0或收敛到0，不说明任何问题。这就如同任意给定一个无穷数列，总能找到它的一个收敛子序列一样，但是这个子序列的收敛性对数列本身的敛散性判断没有任何帮助。