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1. 如果n是素数,则n只有1,n,这两个因子。这样,任意的<n, >1 的正整数,必然与n互质,否则,n必然有>1,<n 的因子。 这样,在1-n这那个正整数中,只有n不与自己互质,其他(包括1)都与n互质,所以 Φ(n)=n-1。
2. 如果Φ(n)=n-1,即在小于等于n的正整数中,只有n与自己有大于1因子,其余n-1个,从1到
n-1都与n互质。这样,n就只有1和n两个因子,不可能有其他介于1与n之间的因子,否则,如有这样的因子,则该因子不可能与n互质,与Φ(n)=n-1不符。因此,n为素数。
综上所述,n为素数的充要条件为Φ(n)=n-1。
2. 如果Φ(n)=n-1,即在小于等于n的正整数中,只有n与自己有大于1因子,其余n-1个,从1到
n-1都与n互质。这样,n就只有1和n两个因子,不可能有其他介于1与n之间的因子,否则,如有这样的因子,则该因子不可能与n互质,与Φ(n)=n-1不符。因此,n为素数。
综上所述,n为素数的充要条件为Φ(n)=n-1。
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