Question

高中立体几何题，在线等！！

空间四边形ABCD BA=BC DA=DC ，求证：AC丄BD

Answer 1

第一问：连接A1C，A1D，这是直棱柱，所以DD1⊥D1A1，又DD1＝D1A1＝1，所以四边形ADD1A1是正方形（同理，CDD1C1也是正方形，CD⊥DD1），所以AD1⊥A1D，又因为AD1⊥A1C，所以AD1⊥平面A1CD，所以AD1⊥CD．因为CD⊥DD1且AD1⊥CD，所以CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD
不好意思，我是学向量的所以用老办法解比较慢，其他两问可能要等会
2．利用体积相等做：VC1-CD1B1=VC-B1C1D1
VC-B1C1D1=S三角形B1C1D1*C1C/3=D1C1*A1D1*0.5*1/3=1/6
所以VC1-CD1B1＝1/6=S三角形CD1B1*C1到CD1B1的距离/3
S三角形CD1B1我不高兴算了，用余弦定理先算出角（因为3边都知道了），再转化为正弦，然后用含有正弦的面积公式算，然后C1到CD1B1的距离就出来了
第三题要我打实在太困难，我只能提示三角形CED1是正三角形，然后你要求二面角的话就要在平面CEB1和平面CED1中找两条垂直于CE且交于同一点的直线（或先在CE上确定一个点后再构造这样的直线），然后在这两条直线构成的三角形中用余弦定理求角度，从图象看着是个钝角，记得要添辅助线啊，而且不要怕烦，因为有可能添到这个直棱柱的外面

Answer 2

BA=BC， DA=DC，BD = BD
三角形ABD 全等于 CBD
做AE 垂直于 BD 于 E ,
连接 CE ,
由于两个三角形全等，则等价边的高相等，即 AE = CE
于是，三角形 ABE 全等于 CBE
则 BD 垂直于 CE , 同时，BD 垂直于 AE,
于是，
BD 垂直于 面 ACE ,
则
BD丄AC , 即
AC丄BD

Answer 3

取AC中点E，则BE丄AC，DE丄AC（等腰三角形中线与垂线重合），从而AC丄面BED，从而AC丄BD