Question

任意函数都可表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求举个例子啊

任意函数都可表示成一个奇函数和一个偶函数的和，可以， 奇函数 加 偶函数不是为 非奇非偶函数么！！ 纠结啊
打错字了。。 ‘可以’ 改为 ‘可是’

Answer 1

对任意函数f(x)，令g(x)=[f(x)+f(-x)]/2，h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x)，所以g(x)是偶函数
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x)，所以h(x)是奇函数
两式相加，g(x)+h(x)=f(x)
所以任意函数f(x)都能表示成一个奇函数和一个偶函数的和

特别地，若f(x)=x^2（偶函数）,则f(x)=x^2+0,其中g(x)=x^2是偶函数，
h(x)=0是既奇又偶函数（当然也是奇函数）。

若f(x)=x（奇函数）,则f(x)=x+0,其中h(x)=x是奇函数，
g(x)=0是既奇又偶函数（当然也是偶函数）。

追问

1、既奇又偶函数 ＝ 奇函数 ？ 2、您说的 g【x】 = 0 是特殊情况啊 ，而且仅此一种情况 3、奇函数 加 偶函数不是为 非奇非偶函数么 ？？

追答

既奇又偶函数当然可以理解成是 奇函数，也是偶函数。

奇函数 加 偶函数不一定是为 非奇非偶函数。
特殊情况下：奇函数 加 偶函数是偶函数。就像我举的例子f(x)=x^2。
奇函数 加 偶函数是奇函数。就像我举的例子f(x)=x。