Question

设函数f(x)=e^ax/x^2+1,a∈R （1）当a=1时求曲线y=f(x)在点（0，f（0

））处的切线方程;
(2)求函数f（x）的单调区间。

Answer 1

解：
1、当a=1时，f'(x)=[e^x(x^2+1)-e^x*2x]/(x^2+1)^2,所以f'(0)=1，即切线的斜率为1，又因为f(0)=1,所以切线方程为y=x+1

2、f'(x)=[ae^ax(x^2+1)-2xe^(ax)]/(x^2+1)^2=e^ax(ax^2-2x+a)/(x^2+1)^2,因为e^ax，(x^2+1)^2恒为正，所以只需考虑ax^2-2x+a的正负号即可知f（x）单调区间，令y=ax^2-2x+a,因为2^2-4a*a=0时；也就是a=+-1时，次方程有解，所以

（1）当a>0时，方程y在[-1,1]上为负，在大于1或小于-1时为正，所以，f(x)在[-1,1]上单调递减，f(x)在大于1或小于-1时单调递增。

（2）当a<0时，方程y在[-1,1]上为正，在小于-1或大于1时为负，所以f(x)在[-1,1]上单调递增，f(x)在小于-1或大于1时单调递减。

（3）当a=0时，方程y在定义域内小于0，所以此时f(x)在定义域内单调递减。

追问

a>0时方程y在[-1,1]为何为负？