Question

正三棱锥的外接球半径与内切球半径的求法是什么，请详细一些，假设侧棱为a，底面变长为b

如题，答案详细些

Answer 1

设正三棱锥P-ABC，底△ABC是正△，AB=BC=CA=b,PA=PB=PC=a,
作PH⊥平面ABC，H是△ABC外心（重心），
连结AH并延长与BC相交于D，
AD=√3b/2,
AH=(2/3)√3b/2=√3b/3,
PH^2=PA^2-AH^2,
PH=√(a^2-b^2/3),
在平面PAD上作PA的垂直平分线EO，交PH于O，则O是外接球心，PO=R,
△PEO∽△PHA，
PE*PA=PO*PH，
a^2/2=R*√(a^2-b^2/3),
R=a^2/[2√(a^2-b^2/3)]
=3a^2/[2√(9a^2-3b^2)].
设内切球半径r.
侧面斜高h=√(a^2-b^2/4)=√(4a^2-b^2)/2,
S△PAB=(1/4)b*√(4a^2-b^2),
依次连结内切球心与各顶点，则分成4个小棱锥，其体积之和等于大的棱锥，
(1/3)3r*(1/4)b*√(4a^2-b^2)+r√3b^2/4/3=(1/3)(√3b^2/4)*√(a^2-b^2/3),
r=[b√（9a^2-3b^2)/[(3√(12a^2-3b^2)+3b]