Question

已知函数f（x）=ax+x2-xlna，其中a＞1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）-m=0在区间[-1

已知函数f（x）=ax+x2-xlna，其中a＞1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）-m=0在区间[-1，1]上有两个不相等实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=a^x+x²-xlna，其中a＞1；
∴f^′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna．
当x＞0时，lna＞0，a^x-1＞0，∴f^′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当x＜0时，lna＞0，a^x-1＜0，∴f^′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（Ⅱ）方程f（x）-m=0在区间[-1，1]上有两个不相等实数根，即函数g（x）=f（x）-m在区间[-1，1]上有两个不相等的零点；
当a＞1时，由（Ⅰ）知，f（x）在x=0处取得最小值f（0）=1，∴g（x）在x=0处取得最小值1-m；
又x＞0时，f（x）是增函数，∴g（x）是增函数；x＜0时，f（x）是减函数，∴g（x）是减函数；
∴g（x）在区间[-1，0]和[0，1]各有一个实根，即

g(0)＜0 g(?1)＞0

，且

g(0)＜0 g(1)＞0

；
∴

1?m＜0 a?1+1+lna?m＞0

，且

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