Question

（2012?徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O，且∠ABE=∠BCA．

（2012?徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O，且∠ABE=∠BCA．求证：（1）△BAE∽△BOA； （2）BO?BE=BC?AE．

Answer 1

证明：（1）在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠EAB=∠CBA
∵∠EBA=∠BCA，
∴△EBA∽△ACB
∴∠AEB=∠BAC
∵∠ABE=∠OBA
∴△BAE∽△BOA
（2）∵△BAE∽△BOA，
∴

AE

BE

＝

AO

AB

∵∠BAC=∠OAB，
∠EBA=∠BCA
∴△OAB∽△BAC
∴

BO

BC

＝

AO

AB

∴

AE

BE

＝

BO

BC

∴BE?BO=AE?BC