Question

已知a为常数，求函数f（x）=-x3+3ax（0≤x≤1）的最大值

已知a为常数，求函数f（x）=-x3+3ax（0≤x≤1）的最大值．

Answer 1

f'（x）=-3x²+3a=-3（x²-a）
若a≤0，则f'（x）=-3（x²-a）≤0，此时函数f（x）单调递减，
所以当x=0时，f（x）取得最大值，f（x）_max=f（0）=0
若a＞0，令f'（x）=-3（x²-a）=0，解得x＝±

a

，
∵x∈[0，1]，则只考虑x＝

a

的情况，如表所示：

①当0＜a＜1时，根据函数的增减性得，
当x＝

a

时，f（x）有最大值，f（x）_max=f（

a

）=2a

a

；
②当

a

≥1，即a≥1时，根据函数的增减性得
当x=1时，f（x）有最大值．f（x）_max=f（1）=3a-1．
综合以上可知：
当a≤0时，x=0，f（x）有最大值0；
当0＜a＜1时，x=

a

，f（x）有最大值2a

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Answer 2

首先求导得f(x)的导数=-3x^2+3a
下面分类讨论当a<=0，f(x)的导函数<=0，f(x)的最大值是f(0)=0
当a>1时,f(x)的导函数>0,f(x)的最大值是f(1)=3a-1
当0<a<1时，f(x)的最大值是f(根号a)=2a*根号a