Question

如图，已知三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点．（1）求证：侧

如图，已知三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点．（1）求证：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求三棱锥P-CEF的外接球的表面积．

Answer 1

解答：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，
又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC，AB?侧面PAB，
故侧面PAB⊥侧面PBC．（6分）
（2）解：∵PC=BC=4，E为PB的中点，∴CE⊥PB，
而侧面PAB垂直侧面PBC于PB，∴CE⊥EF．
由E、F分别是PB、PA的中点有EF∥AB，
则EF⊥侧面PBC．
故EC、EF、EP两两垂直，（9分）
三棱锥P-CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，
由已知得EC=EP=2

2

，EF=1，
其外接球的直径是

8+8+1

=

17

，
故所求三棱锥P-CEF的外接球的表面积是=17π．（12分）