Question

函数f（x）=xlog2x-3的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k的值是______

函数f（x）=xlog2x-3的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k的值是______．

Answer 1

f′（x）=ln2+log₂x，令f′（x）=0得，x=2^-ln2，且0＜2^-ln2＜1；
∴x∈（0，2^-ln2）时，f′（x）＜0，x∈（2^-ln2，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，2^-ln2）上单调递减，在（2^-ln2，+∞）上单调递增；
又x趋向于0时，log₂x＜0，x＞0，∴xlog₂x＜0，即函数f（x）在（0，2^-ln2）内不存在零点；
又∵f（2）=2-3＜0，f（3）=3log₂3-3＞0；
∴f（x）在区间（2，3）内存在一个零点，且在（2^-ln2，+∞）内只有一个零点；
由已知f（x）零点所在区间为（k，k+1），（k∈Z）；
∴k=2．
故答案为：2．