Question

一道高中函数与导数的综合题

f(x)=kx+lnx,当k=0是,是否存在不相等的正数a、b满足[f(a)-f(b)]/(a-b)=f ‘[（a+b)/2]?

Answer 1

f(x)=kx+lnx,当k=0是,是否存在不相等的正数a、b满足[f(a)-f(b)]/(a-b)=f ‘[（a+b)/2]?
解：k=0时，f(x)=lnx，f′(x)=1/x，
lna-lnb=ln(a/b)=(a-b)[2/(a+b)]=2(a-b)/(a+b)
设a/b=m，a=mb，ln(a/b)=ln(mb/b)=lnm=2(mb-b)/(mb+b)=2(m-1)/(m+1)
因此只要找到m，使等式lnm=2(m-1)/(m+1)成立，(m≠1)，原命题就成立了。
令y₁=lnx，y₂=2(x-1)/(x+1)=[2(x+1)-4]/(x+1)=2-4/(x+1)
由作图不难看出：对数曲线y₁=lnx与曲线y₂=2-4/(x+1)只有一个交点(1，0)，而若x=m=1，则有a=b，这与题意是不相符的，所以不存在不相等的正数a，b满足[f(a)-f(b)]/(a-b)=f ′[(a+b)/2].

Answer 2

当k=0时，f(x)=lnx,f(x)'=1/x,[f(a)-f(b)]/(a-b)=[ln(a/b)]/(a-b),f'[(a+b)/2]=2/(a+b)，
那么只需：ln(a/b)=2，这是可以做到的，只需a=e².b