Question

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AA1，M为CC1的中点．（Ⅰ）求证：BM⊥AB1；（Ⅱ）试在棱AC上确定一

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AA1，M为CC1的中点．（Ⅰ）求证：BM⊥AB1；（Ⅱ）试在棱AC上确定一点N，使得AB1∥平面BMN．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：取A₁B₁的中点F，连接A₁B，AB₁交于点E，连接EF，C₁F．
因为△A₁B₁C₁是正三角形，
所以C₁F⊥A₁B₁．
又ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，所以B₁B⊥面A₁B₁C₁，所以B₁B⊥C₁F．
所以有C₁F⊥面BB₁A₁A．
?ME⊥面BB₁A₁A?ME⊥AB₁，
又在面BB₁C₁C中AB₁⊥A₁B，
所以AB₁⊥平面BEM，
所以BM⊥AB₁；
（Ⅱ）N为AC的三等分点，CN：NA=1：2．
连接B₁C，B₁C∩BM=E₁，
∵△CE₁M∽△B₁E₁B，
∴

CE1

E1B1

=

CM

BB 1

=

1

2

，
∴

CN

NA

=

CE1

E1B1

=

1

2

，∴AB₁∥NE₁
又∵E₁N?面BMN，AB₁?面BMN
∴AB₁∥平面BMN