Question

计算二重积分?Dxydσ，其中区域D为曲线r=1+cosθ（0≤θ≤π）与极轴围成

计算二重积分?Dxydσ，其中区域D为曲线r=1+cosθ（0≤θ≤π）与极轴围成．

Answer 1

∵D={（r，θ）|0≤θ≤π，0＜r≤1+cosθ}
∴

?

D

xydσ＝

∫

π 0

dθ

∫

1+cosθ 0

r2sinθcosθ?rdr
=

1

4

∫

π 0

sinθcosθ?(1+cosθ)4dθ
=?

∫

π 0

cosθ?(1+cosθ)4dcosθ

令u＝cosθ

.

1

4

∫

1 ?1

u(1+u)4du
=

1

4

∫

1 ?1

(u+4u2+6u3+4u4+u5)du
=2

∫

1 0

(u2+u4)du＝2(

1

3

u3+

1

5

u5)

|

1 0

=

16

15

．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示