Question

已知函数f（x）=ax2+bx-a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=

已知函数f（x）=ax2+bx-a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）若a=1，b∈R，当x∈[1，4]时函数y=f（x）的图象恒在函数y=-2x-3图象的上方，求实数b的取值范围．

Answer 1

解答：（1）解：由题意知：

a＜0 ? b a ＝2 ?a+2 a ＝?3

∴

a＝?1 b＝2

…（3分）
（2）解：当b=2，a＞0时，ax²+2x-a+2＞0
∴（ax-a+2）（x+1）＞0…（5分）
∴(x?

a?2

a

)(x+1)＞0
（I）当

a?2

a

＞?1，即a＞1时，不等式解集为{x|x＜?1或x＞

a?2

a

}
（II）当

a?2

a

＝?1，即a=1时，不等式解集为{x|x≠-1}
（III）当

a?2

a

＜?1，即0＜a＜1时，不等式解集为{x|x＜

a?2

a

或x＞?1}…（8分）
（3）解：当a=1，b∈R时，由题意可知：x²+bx+1＞-2x-3对x∈[1，4]恒成立
即x²+（b+2）x+4＞0x∈[1，4]恒成立…（10分）
令g（x）=x²+（b+2）x+4
（I）当?

b+2

2

≤1时，即b≥4时，g（x）在[1，4]单调增
∴

g

(x) min

＝g(1)＝b+7＞0∴b＞-7此时b≥-4
（II）当?

b+2

2

≥4时，即b≤-10时，g（x）在[1，4]单调减
∴

g

(x) min

＝g(4)＝28+4b≥0∴b＞-7此时b不存在
（III）当1＜?

b+2

2

≤4时，即-10＜b＜-4时，

g

(x) min

＝

16?(b+2)2

4

＞0∴-6＜b＜2此时-6＜b＜-4
由此可知  b＞-6…（16分）