Question

高中数学，求详细解答

Answer 1

1、[f(x1)+f(x2)]/2 - f[(x1+x2)/2]
=[( ax1²+x1)+( ax2²+x2)]/2 - {a[(x1+x2)/2]²+ (x1+x2)/2}
=(ax1²+ ax2²)/2 - a(x1+x2)²/4
=(a/4)*[(2x1²+ 2x2²) - (x1+x2)²]
=(a/4)*(x1²+ x2²-2x1x2)
=(a/4)*(x1-x2)²

可见：
若a>0，则上式≥0，也即[f(x1)+f(x2)]/2 - f[(x1+x2)/2]≥0，所以f(x1)+f(x2)]/2≥f[(x1+x2)/2]

2、依题意|f(x)|≤1，-1≤f(x)≤1
若a>0，则f(x)表示开口向上的二次函数，其对称轴x= -1/(2a)<0，
函数在[0，1]上是增函数，所以f(0)≤f(x)≤f(1)，即0≤f(x)≤a+1，依题意得a+1≤1，解出a<0，与前面的假设a>0相矛盾，所以不符题意。

所以只有a<0

则f(x)表示开口向下的二次函数，其对称轴x= -1/(2a)>0，需要分情况讨论：

①若对称轴在区间[0，1]内部偏左，此时0<-1/(2a)≤1/2，即a≤-1，
函数在[0，1]上先增后减，在x=1时取得最小值，在对称轴处取得最大值，
所以f(1)≤f(x)≤f[-1/(2a)]，即a+1≤f(x)≤-1/(4a)，依题意-1≤f(x)≤1，所以
-1/(4a)≤1且a+1≥-1，
解上面的不等式组并结合a≤-1得
-2≤a≤-1。

②若对称轴在区间[0，1]内部偏右，此时1/2<-1/(2a)<1，即-1<a<-1/2，
函数在[0，1]上先增后减，在x=0时取得最小值，在对称轴处取得最大值，
所以f(0)≤f(x)≤f[-1/(2a)]，即0≤f(x)≤-1/(4a)，依题意-1≤f(x)≤1，所以
-1/(4a)≤1，解之并结合-1<a<-1/2得
-1<a<-1/2。

③若对称轴在区间[0，1]外，此时-1/(2a) ≥1，即-1/2≤a<0，
函数在[0，1]上单调递增，在x=0时取得最小值，在x=1时取得最大值，
所以f(0)≤f(x)≤f(1)，即0≤f(x)≤a+1，依题意-1≤f(x)≤1，所以
a+1≤1，结合-1/2≤a<0解之得
-1/2≤a<0。

①②③取并集得到a的取值范围为
2≤a<0

Answer 2

f((x1+x2)/2)-[f(x1)+f(x2)]/2
=a(x1+x2)²/4+(x1+x1)/2-[ax1²+x1+ax2²+x2]/2
=a(x1²+2x1x2+x2²)/4+(x1+x2)/2-[ax1²+x1+ax2²+x2]/2
=a(x1²+2x1x2+x2²-2ax1²-2ax2²)/4
=-a(x1²-2x1x2+x2²)/4
=-a(x1-x2)²/4
a>0, -a(x1-x2)²/4<=0, f((x1+x2)/2)-[f(x1)+f(x2)]/2<=0, f((x1+x2)/2)<=[f(x1)+f(x2)]/2, 证毕

Answer 3

说明：式中^2代表平方，*代表乘法。　　
(1)将(x1+x2)/2替换f(x)中的x，即等式左边为a[(x1-x2)/2]的平方+(x1+x2)/2。等式右边分别将x1和x2替换f(x)中的x，得到1/2*[a*(x1)的平方+x1+a*(x2)的平方+x2]。对两式分解，相减得到，负的a{[(x1+x2)/2]^2},因为a大于0，所以等式小于等于0，即不等式左边-右边小于等于0，左边≤右边，得证。
　　(2)因为绝对值小于等于1，所以去掉绝对值变成-1≤f(x)≤1,将f(x)换成ax^2+x并表示a，得到(-1-x)/(x^2)≤a≤(1-x)/(x^2),因为x在[0,1]之间，所以，不等式左边当x=1时为-2，右边同理为0。所以有-2≤a≤0。（因为对于任意的x在定义域内都成立，所以要取a的范围最小的。）