Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴y轴的正半轴上，线段OA的长是不等式5x﹣4＜3（x+2）的最大整

如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴y轴的正半轴上，线段OA的长是不等式5x﹣4＜3（x+2）的最大整数解，线段OB的长是一元二次方程x 2 ﹣2x﹣3=0的一个根，将Rt△ABO沿BE折叠，使AB边落在OB边所在的y轴上，点A与点D重合． （1）求OA、OB的长；（2）求直线BE的解析式；（3）在平面内是否存在点M，使B、O、E、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）OA=4，OB=3 （2）y=﹣2x+3 （3）存在，点M的坐标是（﹣ ，3）或（ ，3）或（ ，﹣3）

试题分析：（1）求出不等式的解集，求出OA，求出方程的解，得出OB； （2）根据对折得出DE=AE，BD=AB=5，设OE=x，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程2 2 +x 2 =（4﹣x） 2 ，求出x，得出E的坐标，设直线BE的解析式是y=kx+b，把B、E的坐标代入求出即可； （3）分别以OB、BE、OE为对角线，得出符合条件的四边形有三个，根据B、E的坐标即可求出M的坐标． 解：（1）∵5x﹣4＜3（x+2）， 5x﹣4＜3x+6， 2x＜10， x＜5， ∴OA=4， ∵x 2 ﹣2x﹣3=0， （x﹣3）（x+1）=0， x﹣3=0，x+1=0， x=3，x=﹣1， ∴OB=3， 答：OA=4，OB=3； （2）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5， ∵OB=3， ∴B（0，3）， 设OE=x， ∵将Rt△ABO沿BE折叠，使AB边落在OB边上，A与D重合， ∴DE=AE，BD=AB=5， ∴DE=AE=4﹣x，OD=5﹣3=2， 在Rt△OED中，由勾股定理得：2 2 +x 2 =（4﹣x） 2 ， 解得：x= ， 即E的坐标是：（ ，0）． 设直线BE的解析式是y=kx+b， ∵把B、E的坐标代入得： ， 解得：k=﹣2，b=3， ∴直线BE的解析式是y=﹣2x+3； （3）如图所示： 在平面内存在点M，使B、O、E、M为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标是（﹣ ，3）或（ ，3）或（ ，﹣3）． 点评：本题考查了解一元一次不等式，解一元二次方程，勾股定理，平行四边形性质，折叠问题的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：用了方程思想和分类讨论思想．