Question

（1）判断函数f（x）= x+ 4 x 在x∈（0，+∞）上的单调性并证明你的结论？（2）猜想函数 f(x)=

（1）判断函数f（x）= x+ 4 x 在x∈（0，+∞）上的单调性并证明你的结论？（2）猜想函数 f(x)=x+ a x ，(a＞0) 在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的单调性？（只需写出结论，不用证明）（3）利用题（2）的结论，求使不等式 x+ 9 x -2 m 2 +m＜0 在x∈[1，5]上恒成立时的实数m的取值范围？

Answer 1

（1）函数f（x）= x+ 4 x 在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．…（1分） 证明：设任意x 1 ＜x 2 ∈（0，+∞），则 f( x 1 )-f( x 2 )= x 1 - x 2 + 1 x 1 - 1 x 2 …（2分） = ( x 1 - x 2 ) x 1 x 2 -4 x 1 x 2                                     …（3分） 又设x 1 ＜x 2 ∈（0，2]，则f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0，∴f（x 1 ）＞f（x 2 ） ∴函数f（x）= x+ 4 x 在（0，2]上是减函数                     …（4分） 又设x 1 ＜x 2 ∈[2，+∞），则f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0，∴f（x 1 ）＜f（x 2 ） ∴函数f（x）= x+ 4 x 在[2，+∞）上是增函数                        …（5分） （2）由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在 (-∞，- a ] 和 [ a ，+∞) 上是增函数，f（x）在 [- a ，0) 和 (0， a ] 上是减函数                   …（7分） （3）∵ x+ 9 x -2 m 2 +m＜0 在x∈[1，5]上恒成立 ∴ x+ 9 x ＜2 m 2 -m 在x∈[1，5]上恒成立         …（8分） 由（2）中结论，可知函数 t=x+ 9 x 在x∈[1，5]上的最大值为10， 此时x=1                                    …（10分） 要使原命题成立，当且仅当2m 2 -m＞10 ∴2m 2 -m-10＞0  解得m＜-2，或 m＞ 5 2 ∴实数m的取值范围是{m|m＜-2，或 m＞ 5 2 }    …（12分）