Question

怎样判断函数f（x）=x+x/4在【2，+00）上的单调性，要证明过程

Answer 1

解：【说明，我与楼主表示分数的方法不一样，我的1/2是二分之一的意思，和楼主刚好相反，楼主下面注意一下就是了】
方法1.定义法
设2≤x1<x2，
f(x1)-f(x2)=x1-x2+4/x1-4/x2=(x1-x2)-4(x1-x2)/x1x2=(x1-x2)(1-4/x1x2)
因为2≤x1<x2，所以，x1<x2，1-4/x1x2>0，
所以，(x1-x2)(1-4/x1x2)<0，
根据函数增减性的定义，f(x)在[2,+∞)上单调递增.

方法2.求导数法
f'(x)=1-4/x^2
因为x≥2，
所以，f'(x)=1-4/x^2≥0，
根据导数的性质，f(x)在[2,+∞)上单调递增.

Answer 2

根据题意，函数应该是：
f（x）=x+4/x
求导得：
f'(x)=1-4/x²
如果x>=2
那么f'(x)>=0
所以在[2，+∞)区间单调递增

Answer 3

应该是f(x)=x^2+x/4吧
设：2≤x1＜x2，则：
f(x1)-f(x2)=x1^2+x1/4-x2^-x2/4=(x1^2-x2^2)+(x1-x2)
由题意知，x1^2<x2^2,x1<x2
所以：f（x1）<f(x2)
所以：函数f（x）=x+x/4在【2，+00）上是单调递增函数

Answer 4

（题中 x/4应该是 4/x(x分之4)吧？？写分数时，通常分子在前，分母在后。）

设 2<=x1<x2，则
f(x1)-f(x2)
=(x1+4/x1)-(x2+4/x2)
=(x1-x2)+(4/x1-4/x2) (重新分组）
=(x1-x2)+4(x2-x1)/(x1*x2) (通分）
=(x1-x2)[1-4/(x1*x2)] (提公因式）
=(x1-x2)(x1*x2-4)/(x1*x2) (通分）
因为 x2>x1>=2，所以，x1-x2<0，x1*x2>4，
因此 (x1-x2)(x1*x2-4)/(x1*x2)<0，
即 f(x1)<f(x2)，
所以，函数在【2，+∞）上是增函数。