Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．（1）求证：OE∥AB；（2）求证： ；（3）若 ,求 的值.





Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） .

试题分析：（1）根据等腰梯形的等腰三角形的性质，可得∠B=∠C=∠OEC.，从而判定OE∥AB. （2）要证明 ，只需证明四边形OEHF是平行四边形，要证明OEHF是平行四边形，已知它有一组对边平行，只需再说明另一组对边平行，由已知EH⊥AB和圆切线的性质即可得到. （3）要求 ，只要证明△EHB∽△DEC，再根据相似三角形的性质来求即可. （1）在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C. ∵OE=OC，∴∠OEC=∠C. ∴∠B=∠OEC. ∴OE∥AB． （2）如图，连接OF． ∵⊙O与AB切于点F，∴OF⊥AB. ∵EH⊥AB，∴OF∥EH. 又∵OE∥AB，∴四边形OEHF为平行四边形. ∴EH=OF，∴ . （3）如图，连接DE． ∵CD是直径，∴∠DEC=90°.∴∠DEC=∠EHB. 又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC. ∴ . ∵ ，设 ，则 ， ∴ . ∴ .